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Newton explique le calcul - Histoire


Isaac Newton a publié ses théories de base du calcul en 1669.

Newton explique le calcul - Histoire

2. Histoire du différentiel au XVIIe siècle

Le problème de trouver la tangente à une courbe a été étudié par de nombreux mathématiciens depuis qu'Archimède a exploré la question dans l'Antiquité. La première tentative de détermination de la tangente à une courbe qui ressemblait à la méthode moderne du Calcul est venue de Gilles Persone de Roberval au cours des années 1630 et 1640. A peu près au moment où Roberval élabore sa méthode, Pierre de Fermat utilise la notion de maxima et d'infinitésimal pour trouver la tangente à une courbe. Certains attribuent à Fermat la découverte de la différentielle, mais ce n'est que lorsque Leibniz et Newton ont rigoureusement défini leur méthode des tangentes qu'une technique généralisée a été acceptée.

2.2 Méthode de Roberval des lignes tangentes utilisant le mouvement instantané

L'idée principale derrière la méthode de Roberval pour déterminer la tangente à une courbe était la notion de mouvement instantané. C'est-à-dire qu'il considérait une courbe esquissée par un point mobile. Si, en tout point d'une courbe, les vecteurs composant le mouvement pouvaient être déterminés, alors la tangente était simplement la combinaison (somme) de ces vecteurs.

Roberval a appliqué cette méthode pour trouver les tangentes aux courbes pour lesquelles il a pu déterminer les vecteurs de mouvement constitutifs en un point. Pour une parabole, Roberval a pu déterminer de tels vecteurs de mouvement.

La figure 2.1 représente le graphique d'une parabole montrant les vecteurs de mouvement constitutifs V1 et V2 en un point P. Roberval a déterminé qu'en un point P d'une parabole, il y a deux vecteurs expliquant son mouvement instantané. Le vecteur V1, qui est dans le même sens que la droite joignant le foyer de la parabole (point S) et le point de la parabole (point P). L'autre vecteur composant le mouvement instantané (V2) est perpendiculaire à l'axe des y (qui est la directrice, ou la droite perpendiculaire à la bissectrice de la parabole). La tangente au graphique au point P est simplement la somme vectorielle V = V1 + V2.

En utilisant cette méthodologie, Roberval a pu trouver les tangentes à de nombreuses autres courbes, y compris l'ellipse et la cycloïde. Cependant, trouver les vecteurs décrivant le mouvement instantané en un point s'est avéré difficile pour un grand nombre de courbes. Roberval n'a jamais pu généraliser cette méthode et n'existe donc historiquement qu'en tant que précurseur de la méthode de recherche de tangentes utilisant des infinitésimaux (Edwards 133-138).

La méthode de Pierre De Fermat pour trouver une tangente a été développée au cours des années 1630, et bien que jamais rigoureusement formulée, est presque exactement la méthode utilisée par Newton et Leibniz. Faute d'un concept formel de limite, Fermat était incapable de justifier correctement son travail. Cependant, en examinant ses techniques, il est évident qu'il a compris précisément la méthode utilisée dans la différenciation aujourd'hui.

Pour comprendre la méthode de Fermat, il faut d'abord considérer sa technique de recherche des maxima. Le premier problème documenté de Fermat en différenciation consistait à trouver les maxima d'une équation, et c'est clairement ce travail qui a conduit à sa technique pour trouver des tangentes.

Le problème considéré par Fermat était de diviser un segment de ligne en deux segments de telle sorte que le produit des deux nouveaux segments soit un maximum.

Sur la figure 2.2, un segment de droite de longueur a est divisé en deux segments. Ces deux segments sont x et (a - x) . Le but de Fermat était donc de maximiser le produit x (a - x) . Son approche était mystérieuse à l'époque, mais avec le bénéfice de la connaissance actuelle des limites, la méthode de Fermat est assez simple à comprendre. Ce que Fermat a fait était de remplacer chaque occurrence de x par x + E et a déclaré que lorsque le maximum est trouvé, x et x + E seront égaux . Il avait donc l'équation :

En simplifiant les deux côtés de l'équation et en annulant des termes similaires, Fermat l'a réduite :

À ce stade, Fermat a dit de simplement laisser E = 0, et en tant que tel, il ne reste que :

Cela dit que pour maximiser le produit des deux longueurs, chaque longueur doit être la moitié de la longueur totale du segment de ligne. Bien que ce résultat soit correct, la méthode de Fermat contient des trous mystérieux qui ne sont rectifiés que par les connaissances actuelles. Fermat laisse simplement E = 0, puis à l'étape où il divise par E, il aurait une division par zéro. Cependant, bien que Fermat ait formulé sa méthode en disant E = 0, il considérait en fait la limite de E lorsqu'elle s'approche de zéro (ce qui explique pourquoi son algèbre fonctionne correctement). La méthode des extrema de Fermat peut également être comprise en termes modernes. En substituant x + E à x , il dit que f(x+E) = f(x) , ou que f(x+E) - f(x) = 0. Puisque f(x) est un polynôme, ceci expression sera divisible par E. Par conséquent, la méthode de Fermat peut être comprise comme la définition de la dérivée (lorsqu'elle est utilisée pour trouver des extrema):

Bien que Fermat n'ait jamais pu faire une formulation logiquement cohérente, son travail peut être interprété comme la définition de la différentielle (Edwards 122-125).

En utilisant son mystérieux E , Fermat a développé une méthode pour trouver des tangentes aux courbes. Considérons le graphique d'une parabole.

Fermat souhaite trouver une formule générale pour la tangente à f(x) . Pour ce faire, il trace la tangente en un point x et va considérer un point à une distance E. Comme on peut le voir sur la figure 2.3, par des triangles similaires, la relation suivante existe :

En isolant s , Fermat a trouvé que

Fermat laisse à nouveau la quantité E = 0 (en terme moderne, il a pris la limite lorsque E s'est approché de 0) et a reconnu que la partie inférieure de l'équation était identique à sa différentielle dans sa méthode de mimina. Par conséquent, pour trouver la pente d'une courbe, il lui suffisait de trouver f(x)/s. Par exemple, considérons l'équation :

Encore une fois, Fermat laisse E=0 et trouve que :

Maintenant, revenons à l'équation d'origine :

Ici, la notation moderne pour la dérivée f'(x) est utilisée, que Fermat a reconnu être égal à [f(x+E) - f(x)]/E quand il a laissé E=0. En utilisant cette méthode, Fermat a pu dériver une règle générale pour que la tangente à une fonction soit . Comme décrit dans la section Intégration, Fermat avait maintenant développé une règle générale pour la différenciation et l'intégration polynomiale. Cependant, il n'a jamais réussi à voir la relation inverse entre les deux opérations, et les incohérences logiques dans sa justification ont laissé son travail assez méconnu. Ce n'est qu'avec Newton et Leibniz que cette formulation est devenue possible (Boyer 155-159).

Newton et Leibniz ont servi à remplir trois nécessités majeures dans le développement du Calcul. Tout d'abord, bien que les techniques de différenciation et d'intégration aient déjà été recherchées, elles ont été les premières à expliquer un "processus algorithmique" pour chaque opération. Deuxièmement, malgré le fait que la différenciation et l'intégration avaient déjà été découvertes par Fermat, Newton et Leibniz ont reconnu leur utilité en tant que processus général. C'est-à-dire que ceux d'avant Newton et Leibniz avaient considéré les solutions aux problèmes d'aire et de tangente comme des solutions spécifiques à des problèmes particuliers. Personne avant eux n'a reconnu l'utilité du Calcul en tant qu'outil mathématique général. Troisièmement, bien qu'une reconnaissance de la différenciation et de l'intégration étant des processus inverses ait eu lieu dans des travaux antérieurs, Newton et Leibniz ont été les premiers à le prononcer explicitement et à le prouver rigoureusement (Dubbey 53-54).

Newton et Leibniz ont tous deux abordé le calcul avec des notations et des méthodologies différentes. Les deux hommes passèrent la dernière partie de leur vie à se disputer pour savoir qui était responsable de l'invention du Calcul et s'accusaient mutuellement de plagiat. Bien que les noms Newton et Leibniz soient associés à l'invention du Calcul, il est clair que le développement fondamental avait déjà été forgé par d'autres. Bien que généraliser les techniques et montrer explicitement le théorème fondamental du calcul n'ait pas été une mince affaire, les mathématiques impliquées dans leurs méthodes sont similaires à celles qui les ont précédées. Leurs méthodes sont suffisamment similaires pour que les spécificités de leurs méthodologies dépassent le cadre de cet article. En termes de leurs mathématiques, c'est seulement leur démonstration du théorème fondamental du calcul qui sera discutée.

2.5 Les inverses ellusifs - l'intégral et le différentiel

La notation de Leibniz ressemble le plus à celle qui est utilisée dans le calcul moderne et son approche pour découvrir la relation inverse entre l'intégrale et la différentielle sera examinée. Bien que Newton soit arrivé indépendamment à la même conclusion, son chemin vers la découverte est légèrement moins accessible au lecteur moderne.

Leibniz a défini le différentiel comme étant

Des travaux antérieurs de Cavalieri, Leibniz était déjà familier avec les techniques de recherche de la zone sous une courbe. Leibniz a découvert la relation inverse entre l'aire et la dérivée en utilisant sa définition de la différentielle.

Considérons le graphique de l'équation y = x 2 +1 :

L'idée de Leibniz était d'utiliser sa différentielle sur la fonction aire du graphe. Envisagez d'ajouter un D (aire) sous le graphique de la courbe. Le D (aire) est défini par le rectangle inférieur PQRS dont l'aire est y( D x) plus une fraction du rectangle supérieur SRUT dont l'aire est simplement D x( D y). En d'autres termes, D (aire) se situe quelque part entre y( D x) et le rectangle englobant total PQUT dont l'aire est (y + D y )( D x). Leibniz a alors considéré le rapport D (aire)/ D x et a vu que puisque le D (aire) est compris entre y( D x) et (y + D y)( D x) le rapport sera entre y et (y + D y). D'après le diagramme, on peut voir que D x et D y sont étroitement liés l'un à l'autre. C'est-à-dire que lorsque D x s'approche de 0, D y également. Cela signifie que le rapport D (surface)/D x est compris entre y et une valeur qui se rapproche de y (puisque y + D y se rapproche de y lorsque D y tend vers 0). Écrit en termes de définition de Leibniz de la dérivée :

Leibniz a montré la relation inverse entre le différentiel et la fonction d'aire. A savoir que la différentielle de la fonction aire d'une fonction y est égale à la fonction elle-même. Dans ce cas, la dérivée de la fonction aire de y = x 2 +1 est bien y = x 2 +1.

L'influence de Leibniz dans l'histoire de l'intégrale s'étend au-delà de la découverte de cette relation révolutionnaire. Il était également responsable de l'invention de la notation qui est utilisée par la plupart des étudiants en calcul aujourd'hui. Leibniz a utilisé le symbole ò (qui était simplement la façon dont "S" était écrit à l'époque) pour désigner un nombre infini de sommes. Ceci était étroitement lié à ce qu'il appelait "l'intégrale", ou la somme d'un nombre d'aires infiniment petites. L'aire sous une fonction y, ou intégrale de y, était exprimée par ò y (dx).

Ce que la notation de Leibniz disait vraiment était de résumer toutes les zones dx * y lorsque dx s'approchait de 0. Lorsque dx s'approchait de 0, il existe un nombre infini de telles zones, d'où le symbolisme &oggrave représentant un nombre infini de sommes. L'intégration de ce type est également connue sous le nom d'intégrale indéfinie ou de dérivée en raison de la relation inverse trouvée par Leibniz. C'est-à-dire que la dérivée de l'intégrale indéfinie d'une fonction donne la fonction elle-même. . Leibniz a également développé une notation pour les intégrales définies, ou intégrales qui ont produit la zone sous une courbe entre deux valeurs limites (plutôt qu'une réponse symbolique). Sa notation pour l'intégrale définie était de fournir les valeurs x des limites inférieure et supérieure avec le symbole intégral :

Où A est la fonction d'aire produite par la primitive . La fonction d'aire A a été calculée en utilisant la loi de Wallis.


Le travail d'Isaac Newton sur le calcul – De l'analyse (1711)

Il s'agit du premier d'une série d'articles de blog mettant en évidence des livres remarquables de la collection de livres rares de la SCUA mis en lumière lors de la préparation d'un projet de catalogage rétrospectif en cours, où les notices du catalogue sur fiches sont converties en notices informatisées pour les documents conservés avant le début du catalogage informatique. Le titre décrit ci-dessous a été découvert dans un emplacement de stockage en sous-sol utilisé comme zone d'attente temporaire. Il est intéressant de noter que l'article a une pochette de contrôle collée dans la couverture arrière indiquant qu'il faisait autrefois partie de la collection circulante de la bibliothèque.

Les collections spéciales et les archives de l'université détiennent une copie du livre d'Isaac Newton Analyse par Quantitatum Series, Fluxiones, ac Differentias: cum Enumeratione Linearum Tertii Ordinis (Londres : Pearson, 1711), la première édition du troisième des travaux majeurs de Newton sur la physique et les mathématiques, après Principia (1687) et Optiques (1704).

Isaac Newton a changé le monde en inventant le calcul. Nous tenons cela pour acquis aujourd'hui, mais ce que Newton a accompli à l'âge de 24 ans est tout simplement étonnant. Le calcul a des utilisations en physique, chimie, biologie, économie, mathématiques pures, toutes les branches de l'ingénierie, et plus encore. Il n'est pas exagéré de dire que la perspicacité de Newton dans le développement du calcul a véritablement révolutionné notre capacité à poursuivre de nouvelles branches de la science et de l'ingénierie. Il est utilisé dans les problèmes lorsqu'une quantité change en fonction du temps, c'est ainsi que la plupart des problèmes se comportent en réalité. Lorsqu'il a inventé le calcul et décrit ses utilisations, Isaac Newton a réalisé l'une des percées les plus importantes dans l'histoire des mathématiques, et elle est toujours vitale à ce jour.

Les propres travaux de Newton en physique l'ont sans aucun doute amené à ce problème, et il a ressenti le besoin de le résoudre avec un nouveau cadre mathématique qui n'avait tout simplement pas existé jusqu'à ce moment-là. Son intérêt pour la gravité et les lois du mouvement est lié à sa percée dans le calcul.

Newton a commencé par essayer de décrire la vitesse d'un objet qui tombe. Quand il a fait cela, il a découvert que la vitesse d'un objet tombant augmente chaque seconde, mais qu'il n'y avait aucune explication mathématique à cela. La question du mouvement et du taux de changement n'avait pas encore été explorée à un degré significatif dans le domaine des mathématiques, de sorte que Newton a vu un vide qui devait être comblé. Il a immédiatement commencé à travailler là-dessus, incorporant des ellipses planétaires dans sa théorie pour tenter d'expliquer l'orbite des planètes. Il a découvert qu'en utilisant le calcul, il pouvait expliquer comment les planètes se déplaçaient et pourquoi les orbites des planètes sont dans une ellipse. C'est l'une des grandes épiphanies de Newton : que la force gravitationnelle qui nous maintient au sol est la même force qui fait que les planètes tournent autour du Soleil et la Lune autour de la Terre.

Le calcul est utilisé dans toutes les branches des mathématiques, des sciences, de l'ingénierie, de la biologie et plus encore. Il y a beaucoup de choses qui entrent dans l'utilisation du calcul, et il y a des industries entières qui en dépendent très fortement. Par exemple, tout secteur qui trace des graphiques et les analyse pour les tendances et les changements utilisera probablement le calcul d'une manière ou d'une autre. Il existe certaines formules en particulier qui nécessitent l'utilisation de calculs lors du tracé de graphiques. Et si les dimensions d'un graphique doivent être estimées avec précision, le calcul sera utilisé. Il est parfois nécessaire de prédire à quoi pourrait ressembler une ligne de graphique à l'avenir à l'aide de divers calculs, ce qui nécessite également l'utilisation du calcul. L'ingénierie est un secteur qui utilise beaucoup le calcul. Des modèles mathématiques doivent souvent être créés pour aider à diverses formes de planification technique. Et il en va de même pour l'industrie médicale. Tout ce qui concerne le mouvement, comme le développement des véhicules, l'acoustique, la lumière et l'électricité, utilisera également beaucoup le calcul car il est incroyablement utile pour analyser toute quantité qui change au fil du temps. Il est donc tout à fait clair qu'il existe de nombreuses industries et activités qui ont besoin de calcul pour fonctionner correctement. Cela fait peut-être près de 350 ans que l'idée a été inventée et développée, mais son importance et sa vitalité n'ont pas diminué depuis son invention.

Le premier traité indépendant de Newton a été écrit en 1669 et publié plus tard en 1711 par la Royal Society lors du différend en cours avec Leibniz sur l'inventeur du calcul. Ces écrits documentent les propres contributions de Newton au développement du calcul. William Jones (1675-1749), un mathématicien gallois connu pour son utilisation du symbole π pour représenter le rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle, a écrit le prologue et édité ce volume d'ouvrages rassemblés et il comprend les écrits suivants :

  • « De analysi per aequationes numero terminorum infinitas » (écrit en 1669 et diffusé en manuscrit et publié ici pour la première fois, il contient le premier compte rendu imprimé du théorème du binôme)
  • Deux traités publiés pour la première fois dans le Optiques mais écrit en 1693 et ​​1695 intitulé « De quadratura curvarum » et « Enumeratio linearum tertii ordinis »
  • "Methodus differentielle" (écrit en 1676 et publié ici pour la première fois c'est la base du calcul des différences finies)
  • « Epistola prior » et « Epistola posterior », une lettre de Newton à Collins, écrite le 8 novembre 1676 et une lettre à Wallis datée du 27 août 1692.

Newton décrit De l'analyse à un collègue en tant que :

"un recueil de la méthode de ces séries [infinies], dans lequel je fais savoir qu'à partir de lignes droites données, les aires et les longueurs de toutes les courbes et les surfaces et volumes de tous les solides [formés] pourraient être déterminés , et inversement avec ceux-ci [pris comme] étant donné que les lignes droites pouvaient être déterminées, et j'ai illustré la méthode ici esquissée par plusieurs séries.

Cette copie de De l'analyse est un in-4 et a 101 pages avec 7 feuillets préliminaires. Il mesure 24 cm de haut. La page de titre comprend une vignette allégorique gravée de Joseph Nutting (1660-1722), un graveur anglais connu pour ses portraits en frontispices de livres, qui présente un petit portrait de Newton. Sont également inclus deux tables gravées et des pièces de tête et de queue gravées tout au long du texte. Il est relié en veau chiné avec une pièce en maroquin rouge au dos.


Contenu

Dans les années 1670 et 1680, Sir Isaac Newton en Angleterre et Gottfried Leibniz en Allemagne ont découvert le calcul en même temps, travaillant séparément l'un de l'autre. Newton voulait avoir une nouvelle façon de prédire où voir les planètes dans le ciel, car l'astronomie avait toujours été une forme de science populaire et utile, et en savoir plus sur les mouvements des objets dans le ciel nocturne était important pour la navigation des navires. Leibniz voulait mesurer l'espace (surface) sous une courbe (une ligne qui n'est pas droite). De nombreuses années plus tard, les deux hommes se sont disputés pour savoir qui l'a découvert en premier. Des scientifiques anglais ont soutenu Newton, mais des scientifiques du reste de l'Europe ont soutenu Leibniz. La plupart des mathématiciens s'accordent aujourd'hui à dire que les deux hommes se partagent le mérite à parts égales. Certaines parties du calcul moderne viennent de Newton, comme ses utilisations en physique. D'autres parties proviennent de Leibniz, comme les symboles utilisés pour l'écrire.

Ils n'étaient pas les premiers à utiliser les mathématiques pour décrire le monde physique - Aristote et Pythagore sont venus plus tôt, tout comme Galileo Galilei, qui a dit que les mathématiques étaient le langage de la science. Mais Newton et Leibniz ont été les premiers à concevoir un système qui décrit comment les choses changent au fil du temps et peut prédire comment elles changeront à l'avenir.

Le nom "calcul" était le mot latin désignant une petite pierre que les anciens Romains utilisaient pour compter et jouer. Le mot anglais "calculate" vient du même mot latin.

Calculs différentiels est utilisé pour trouver le taux de variation d'une variable par rapport à une autre variable.

Dans le monde réel, il peut être utilisé pour trouver la vitesse d'un objet en mouvement, ou pour comprendre comment fonctionnent l'électricité et le magnétisme. C'est très important pour comprendre la physique et de nombreux autres domaines de la science.

Le calcul différentiel est également utile pour la représentation graphique. Il peut être utilisé pour trouver la pente d'une courbe et les points les plus hauts et les plus bas d'une courbe (ceux-ci sont appelés respectivement maximum et minimum).

Les variables peuvent changer leur valeur. Ceci est différent des nombres car les nombres sont toujours les mêmes. Par exemple, le nombre 1 est toujours égal à 1, et le nombre 200 est toujours égal à 200. On écrit souvent des variables sous forme de lettres telles que la lettre x : "x" peut être égal à 1 à un moment donné et 200 à un autre.

Quelques exemples de variables sont la distance et le temps, car ils peuvent changer. La vitesse d'un objet est la distance qu'il parcourt dans un temps donné. Donc, si une ville est à 80 kilomètres (50 miles) et qu'une personne en voiture y arrive en une heure, elle a voyagé à une vitesse moyenne de 80 kilomètres (50 miles) par heure. Mais ce n'est qu'une moyenne : peut-être ont-ils voyagé plus vite à certains moments (disons sur une autoroute) et plus lentement à d'autres moments (disons à un feu de circulation ou dans une petite rue où vivent des gens). Certes, il est plus difficile pour un conducteur de déterminer la vitesse d'une voiture en utilisant uniquement son compteur kilométrique (compteur de distance) et son horloge, sans compteur de vitesse.

Jusqu'à ce que le calcul soit inventé, la seule façon de résoudre ce problème était de couper le temps en morceaux de plus en plus petits, de sorte que la vitesse moyenne sur le plus petit temps se rapprocherait de plus en plus de la vitesse réelle à un moment donné. C'était un processus très long et difficile, et il fallait le faire à chaque fois que les gens voulaient trouver une solution.

Un problème très similaire consiste à trouver la pente (à quel point elle est raide) à n'importe quel point d'une courbe. La pente d'un droit la ligne est facile à calculer - c'est simplement combien elle monte ou descend (oui ou vertical) divisé par combien il traverse (X ou horizontale). Sur un courbe, cependant, la pente est une variable (a des valeurs différentes à différents points) car la ligne se plie. Mais si la courbe devait être coupée en très, très petits morceaux, la courbe au niveau du point ressemblerait presque à une très courte ligne droite. Ainsi, pour calculer sa pente, une ligne droite peut être tracée à travers le point avec la même pente que la courbe à ce point. Si cela est fait exactement correctement, la ligne droite aura la même pente que la courbe et s'appelle une tangente. Mais il n'y a aucun moyen de savoir (sans mathématiques complexes) si la tangente est exactement juste, et nos yeux ne sont pas assez précis pour être certains qu'elle est exacte ou simplement très proche.

Ce que Newton et Leibniz ont trouvé était un moyen de calculer exactement la pente (ou la vitesse dans l'exemple de la distance), en utilisant des règles simples et logiques. Ils ont divisé la courbe en un nombre infini de très petits morceaux. Ils ont ensuite choisi des points de chaque côté de la plage qui les intéressait et ont calculé des tangentes à chacun. Au fur et à mesure que les points se rapprochaient du point qui les intéressait, la pente approché une valeur particulière lorsque les tangentes s'approchaient de la pente réelle de la courbe. La valeur particulière qu'elle approchait était la pente réelle.

La façon d'écrire la dérivée en mathématiques est f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . (x)=lim _>.> [1]

Les mathématiciens ont développé cette théorie de base pour créer des règles d'algèbre simples, qui peuvent être utilisées pour trouver la dérivée de presque n'importe quelle fonction.

Calcul intégral est le processus de calcul de l'aire sous un graphique d'une fonction. Un exemple est le calcul de la distance parcourue par une voiture : si l'on connaît la vitesse de la voiture à différents moments et trace un graphique de cette vitesse, alors la distance parcourue par la voiture sera l'aire sous le graphique.

La façon de le faire est de diviser le graphique en plusieurs très petits morceaux, puis de tracer des rectangles très fins sous chaque morceau. Au fur et à mesure que les rectangles deviennent de plus en plus fins, les rectangles couvrent de mieux en mieux la zone sous le graphique. L'aire d'un rectangle est facile à calculer, nous pouvons donc calculer l'aire totale de tous les rectangles. Pour les rectangles plus fins, cette valeur de surface totale approches la zone sous le graphique. La valeur finale de la zone est appelée la intégral de la fonction.

En mathématiques, l'intégrale de la fonction f(x) de une à b, s'écrit ∫ a b f ( x ) d x f(x),dx> . [1] [3]

L'idée principale du calcul s'appelle le théorème fondamental du calcul. Cette idée principale dit que les deux processus de calcul, la différenciation et l'intégration, sont inverses l'un de l'autre. [4] C'est-à-dire qu'une personne peut utiliser la différenciation pour annuler un processus d'intégration. En outre, une personne peut utiliser l'intégration pour annuler une différenciation. C'est comme utiliser la division pour "annuler" la multiplication, ou l'addition pour "annuler" la soustraction.

En une seule phrase, le théorème fondamental s'exécute comme ceci : « La dérivée de l'intégrale d'une fonction F est la fonction elle-même".

Le calcul est utilisé pour décrire les choses qui changent, comme les choses dans la nature. Il peut être utilisé pour montrer et apprendre tout cela :


Histoire du calcul : Newton & Leibniz

Sir Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz sont deux des intellects les plus suprêmes du 17ème siècle. Ils sont tous deux considérés comme les inventeurs du calcul. Cependant, après une terrible dispute, Sir Isaac Newton a pris la plupart du crédit.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) était un philosophe, mathématicien et homme d'État allemand né dans le pays de Leipzig. Il a fait ses études dans les universités de Leipzig, d'Iéna et d'Altdorf. Il a obtenu un doctorat en droit. Il consacra une grande partie de son temps aux principales études des mathématiques, des sciences et de la philosophie.

La contribution de Leibniz aux mathématiques remonte à l'année 1675, lorsqu'il découvrit les principes fondamentaux du calcul infinitésimal. Il est arrivé à cette découverte indépendamment en même temps avec le scientifique anglais Sir Isaac Newton en 1666. Cependant, le système de Leibniz a été publié en 1684, trois ans avant que Newton ne publie le sien. Également à cette époque, la méthode de notation de Leibniz, connue sous le nom de symboles mathématiques, a été adoptée universellement.

Il contribua également en 1672 en inventant une machine à calculer capable de multiplier, diviser et extraire des racines carrées. Tout cela fait de lui un pionnier dans le développement de la logique mathématique. Sir Isaac Newton est l'autre figure majeure du développement de Calculus. C'était un mathématicien et physicien anglais, considéré comme l'un des plus grands scientifiques de l'histoire.

Newton est né le 25 décembre 1642 à Woolsthorpe, près de Grantham dans le Lincolnshire. Il a fréquenté le Trinity College, à l'Université de Cambridge. Il a obtenu son baccalauréat en 1665 et sa maîtrise en 1668. Cependant, il a ignoré une grande partie du programme universitaire établi pour poursuivre ses propres intérêts : les mathématiques et la philosophie naturelle.

Presque immédiatement, il a fait des découvertes fondamentales dans les deux domaines. Les récupérations de Newtons étaient composées de plusieurs choses différentes. Il s'agissait de sommes infinies combinées appelées séries infinies.

Il comprenait également le théorème du binôme pour les exposants fractionnaires et l'expression algébrique de la relation inverse entre les tangentes et les aires dans des méthodes que nous appelons aujourd'hui calcul. Cependant, l'histoire n'est pas si simple. Étant donné que les deux hommes étaient de soi-disant génies universels, ils ont réalisé que, de différentes manières, ils avaient le droit d'avoir «inventé le calcul».

Tous deux se sont livrés à une violente dispute sur la priorité dans l'invention du calcul. Malheureusement, Newton avait le dessus, étant donné qu'il était le président de la Royal Society. Il a utilisé cette position pour sélectionner un comité qui enquêterait sur la question non résolue.

Apparemment, Newton s'est inclus dans ce comité (illégalement) et a soumis un faux rapport qui accusait Leibniz de plagiat délibéré. C'est aussi lui qui a compilé le livre de preuves que la "société" était censée publier.


Il y a un certain mot de quatre lettres qui fait peur à beaucoup de gens : les mathématiques. Il a la réputation d'être un sujet de l'élite - un désordre terrible, déroutant et confus d'expressions et de règles illogiques que beaucoup de gens renoncent à essayer de déchiffrer à un moment donné. Néanmoins, de nombreux étudiants en mathématiques (formelles et informelles) persévérent à travers des années d'algèbre et d'arithmétique pour se retrouver face à une bête très différente : le calcul.

En vérité, les mathématiques est compliqué et avancé, et il a fallu des centaines d'années pour développer ce langage qui peut décrire avec précision l'univers dans lequel nous vivons.

Initialement, les mathématiques sont apparues pour résoudre des problèmes et prédire des résultats dans la vie de tous les jours, et à mesure que les humains s'intéressaient de plus en plus aux comment le monde fonctionnait, ils étaient confrontés aux limites de leurs théories mathématiques actuelles. C'est pourquoi de nombreuses personnes à travers l'histoire ont travaillé pour créer de nouveaux et meilleurs modèles de la nature, conduisant à des mathématiques avancées. C'est aussi la raison pour laquelle Sir Isaac Newton et d'autres innovateurs ont été incités à créer certaines des équations mathématiques les plus redoutées que nous connaissons aujourd'hui.

Pour comprendre le besoin que Newton ressentait pour des mathématiques plus précises, vous avez d'abord besoin d'une brève compréhension de ce qu'existaient les mathématiques avant qu'il n'arrive et ne change tout.

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Dans les temps anciens (vers 580-212 avant notre ère), trois philosophes notables - Pythagore, Euclide et Archimède - ont créé ce que nous appelons maintenant l'algèbre et la géométrie, mais ils ont eu du mal à les unifier. Jusqu'à présent, l'algèbre était faite sans les outils idéaux, tels que les symboles plus, moins et de multiplication/division ou un système de numérotation facile à utiliser (imaginez faire de l'algèbre avec des chiffres romains).

À la fin des années 1500, René Descartes a unifié l'algèbre, qui a été utilisée comme outil d'analyse, avec les formes géométriques. Il a découvert qu'un point sur un plan peut être décrit à l'aide de deux nombres, et à partir de cette information, des équations de figures géométriques sont nées.

Vers les années 1670, deux grands hommes - Sir Isaac Newton d'Angleterre et Gottfried Wilhelm Leibniz d'Allemagne - ont découvert et développé le calcul indépendamment l'un de l'autre.

Les deux hommes ont fait beaucoup de travail pour former un langage de nombres qui pourrait décrire avec précision la nature. Il convient de noter que Newton a développé le calcul huit ans avant Leibniz, mais Leibniz est connu pour développer les mathématiques européennes modernes parce qu'il a introduit des symboles et des règles soigneusement dessinés - beaucoup de gens disent qu'il était responsable de la création du signe égal (=). Les deux hommes ont affirmé que l'autre les avait plagiés pour le reste de leur vie, un conflit connu sous le nom de "grande bouderie".


Applications

L'application du calcul infinitésimal aux problèmes de physique et d'astronomie était contemporaine de l'origine de la science. Tout au long du XVIIIe siècle, ces applications se sont multipliées, jusqu'à ce que, à sa fin, Laplace et Lagrange aient ramené dans le domaine de l'analyse toute la gamme de l'étude des forces. C'est à Lagrange (1773) que l'on doit l'introduction de la théorie du potentiel dans la dynamique, bien que le nom de « fonction potentielle » et le mémoire fondamental du sujet soient dus à Green (1827, imprimé en 1828). Le nom « potentiel » est dû à Gauss (1840), et la distinction entre potentiel et fonction potentielle à Clausius. À son développement sont liés les noms de Dirichlet, Riemann, von Neumann, Heine, Kronecker, Lipschitz, Christoffel, Kirchhoff, Beltrami et de nombreux physiciens de premier plan du siècle.

Il est impossible ici d'entrer dans la grande variété des autres applications de l'analyse aux problèmes physiques. Among them are the investigations of Euler on vibrating chords Sophie Germain on elastic membranes Poisson, Lamé, Saint-Venant, and Clebsch on the elasticity of three-dimensional bodies Fourier on heat diffusion Fresnel on light Maxwell, Helmholtz, and Hertz on electricity Hansen, Hill, and Gyldén on astronomy Maxwell on spherical harmonics Lord Rayleigh on acoustics and the contributions of Dirichlet, Weber, Kirchhoff, F. Neumann, Lord Kelvin, Clausius, Bjerknes, MacCullagh, and Fuhrmann to physics in general. The labors of Helmholtz should be especially mentioned, since he contributed to the theories of dynamics, electricity, etc., and brought his great analytical powers to bear on the fundamental axioms of mechanics as well as on those of pure mathematics.

Furthermore, infinitesimal calculus was introduced into the social sciences, starting with Neoclassical economics. Today, it is a valuable tool in mainstream economics.


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Première vie Modifier

Sir Isaac Newton was born (according to the Julian calendar, in use in England at the time) on Christmas Day, 25 December 1642 (N.S. 4 January 1643) "an hour or two after midnight", [6] at Woolsthorpe Manor in Woolsthorpe-by-Colsterworth, a hamlet in the county of Lincolnshire, England. His father, also named Isaac Newton, died three months before his birth. When Newton was three, his mother, Hannah Ayscough, remarried with Reverend Barnabas Smith. Young Newton remained with his maternal grandmother, Margery Ayscough.

From 1655 to 1659, Newton was educated at The King's School, Grantham. [7] When he was seventeen, he was removed from school. His mother tried to make him a farmer, but he did not like that. [8] Henry Stokes, master at The King's School, requested his mother to send him back to school. [9]

In June 1661, he was sent to the University of Cambridge to study. It is sometimes told that Isaac Newton was reading a book under a tree when an apple from the tree fell next to him. This led to his calculations of gravitation.

Early discoveries Edit

In 1666 Sir Isaac Newton experimented with light, and found that different colours had different refractions. He began lecturing on this topic in 1670.

Newton explained the workings of the universe through mathematics. He described laws of motion and gravitation. These laws are math formulas that explain how objects move when a force acts on them. Newton published his most famous book, Principia, in 1687 [5] while he was a mathematics professor at Trinity College, Cambridge. In the Principia, Newton explained three basic laws that govern the way objects move. He then described his idea, or theory, about gravity. Gravity is the force that causes things to fall down. If a pencil fell off a desk, it will land on the floor, not the ceiling. In his book Newton also used his laws to show that the planets revolve around the suns in orbits that are oval, not round. Newton also discovered diffraction. This led him to enter the field of physics, where he prospered.

Newton's Three Laws Of Motion Edit

Following are the three laws of motion.

  1. The first law (Law of Inertia) Newton's first law of motion states is that an object that is not being pushed or pulled by some force will stay still, or will keep moving in a straight line at a steady speed. It is easy to understand that a rocket will not move unless something pushes or pulls it. It is harder to understand that an object will continue to move without help. Think of the rocket again. If someone is flying a rocket and jumps off before the rocket is stopped, what happens? The rocket continues on until it goes into space. The tendency of an object to remain still, or keep moving in a straight line at a steady speed is called inertia.
  2. The second law (Law of Acceleration) The second law explains how a force acts on an object. An object accelerates in the direction the force is moving it. If someone gets on a bicycle and pushes the pedals forward the bicycle will begin to move. If someone gives the bicycle a push from behind, the bicycle will speed up. If the rider pushes back on the pedals the bicycle will slow down. If the rider turns the handlebars, the bicycle will change direction. The formula showing this law is F=m*a, or the force acting on an object is equal to mass times acceleration.
  3. The third law (Law of Reciprocal Actions) The third law states that if an object is pushed or pulled, the object will push or pull equally in the opposite direction. If someone lifts a heavy box, they use force to push it up. The box is heavy because it is producing an equal force downward on the lifter’s arms. The weight is transferred through the lifter’s legs to the floor. The floor presses upward with an equal force. If the floor pushed back with less force, the person lifting the box would fall through the floor. If it pushed back with more force the lifter would fly into the air.

When most people think of Isaac Newton, they think of him sitting under an apple tree watching an apple fall. Some people even believe the apple fell onto his head. Newton understood that what makes things like apples fall to the ground is a specific kind of force — the force we call gravity. Newton thought that gravity was the force of attraction between two objects, such as an apple and the earth. He also thought that an object with more matter exerted the same force on smaller objects as they exerted on it. That meant that the large mass of the earth pulled objects toward it. That is why the apple fell down instead of up, and why people do not float in the air.

Isaac Newton went on thinking about gravity. Before Newton, people thought that only objects near to the earth would fall down. But Newton thought that gravity should not just be limited to the earth and the objects on it. What if gravity went to the moon and beyond?

Newton invented a formula for calculating the force of attraction between two bodies. He used it to calculate the force needed to keep the moon moving around the earth. Then he compared it with the force that made the apple fall downward. After allowing for the fact that the moon is much farther from the earth, and has a much greater mass, he discovered that the forces were the same. The moon is held in an orbit around the earth by the pull of earth’s gravity.

The formula invented by Newton is called the Law of gravitation.

Impact Edit

Sir Isaac Newton’s calculations changed the way people understood the universe. No one had been able to explain why the planets stayed in their orbits. What held them up? Less than 50 years before Isaac Newton was born it was thought that the planets were held in place by an invisible shield. Isaac proved that they were held in place by the sun’s gravity. He also showed that the force of gravity was affected by distance and by mass. He was not the first to understand that the orbit of a planet was not circular, but more elongated, like an oval. What he did was to explain how it worked.

Sir Isaac Newton was the first to discover the laws of gravitation and the laws of motion. He also established a new field in mathematics known as calculus, though the German Gottfried Leibniz had developed the ideas at the same time. His work has greatly contributed in the areas of science and mathematics making him one of the most influential scientists in human history and one of the greatest mathematician of all times.

The great physicist, Albert Einstein, thought that Newton's idea of gravity was not completely accurate. He corrected many of the things that Newton did.

Isaac Newton died on ( 1727-03-31 ) 31 March 1727 [O.S. 20 March 1726] in London, England. [5]

He is buried in Westminster Abbey. [5] He set the stage for many famous physicists to come, such as Albert Einstein, James Chadwick, and Stephen Hawking.


There’s no evidence to suggest the fruit actually landed on his head, but Newton’s observation caused him to ponder why apples always fall straight to the ground (rather than sideways or upward) and helped inspired him to eventually develop his law of universal gravitation.

“Newton cleverly honed this anecdote over time,” said Keith Moore, head of archives at the Royal Society. “The story was certainly true, but let’s say it got better with the telling.” The story of the apple fitted with the idea of an Earth-shaped object being attracted to the Earth.


Newton's Second Law of Motion

Newton's Second Law of Motion states that when a force acts on an object, it will cause the object to accelerate. The larger the mass of the object, the greater the force will need to be to cause it to accelerate. This Law may be written as force = mass x acceleration or:

Another way to state the Second Law is to say it takes more force to move a heavy object than it does to move a light object. Simple, right? The law also explains deceleration or slowing down. You can think of deceleration as acceleration with a negative sign on it. For example, a ball rolling down a hill moves faster or accelerates as gravity acts on it in the same direction as the motion (acceleration is positive). If a ball is rolled up a hill, the force of gravity acts on it in the opposite direction of the motion (acceleration is negative or the ball decelerates).