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Chronologie de Ménélas d'Alexandrie



BIOGRAPHIE

Naissance : environ 70 ans (peut-être) à Alexandrie, en Égypte
Décédé : environ 130
Bien que nous sachions peu de choses sur la vie de Ménélas d'Alexandrie, Ptolémée enregistre des observations astronomiques faites par Ménélas à Rome le 14 janvier de l'an 98. Ces observations comprenaient celle de l'occultation de l'étoile Beta Scorpii par la lune.

Il fait également une apparition dans une œuvre de Plutarque qui décrit une conversation entre Ménélas et Lucius dans laquelle Lucius s'excuse auprès de Ménélas pour avoir douté du fait que la lumière, lorsqu'elle est réfléchie, obéit à la loi selon laquelle l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion. Lucius dit (voir par exemple [1]):-

En votre présence, mon cher Ménélas, j'ai honte de réfuter une proposition mathématique, le fondement, pour ainsi dire, sur lequel repose le sujet de la catoptrique. Pourtant, il faut dire que la proposition « Toute réflexion se produit sous des angles égaux » n'est ni évidente en soi ni un fait admis.

Cette conversation est censée avoir eu lieu à Rome probablement assez longtemps après 75 après JC, et en effet si notre supposition que Ménélas est né en 70 après JC est proche d'être correcte, alors cela doit avoir été de nombreuses années après 75 après JC.

Très peu de choses sont connues de la vie de Ménélas, sauf qu'il est appelé Ménélas d'Alexandrie par Pappus et Proclus. Tout ce que nous pouvons en déduire, c'est qu'il a passé quelque temps à la fois à Rome et à Alexandrie, mais le scénario le plus probable est qu'il a vécu à Alexandrie dans sa jeunesse, y étant peut-être né, et a ensuite déménagé à Rome.

Un registre arabe de mathématiciens composé au 10ème siècle enregistre Ménélas comme suit (voir [1]): -

Il a vécu avant Ptolémée, puisque ce dernier fait mention de lui. Il a composé : « Le Livre des propositions sphériques », « Sur la connaissance des poids et de la répartition des différents corps ». Trois livres sur les « Éléments de géométrie », édités par Thabit ibn Qurra, et « Le livre sur le triangle ». Certains d'entre eux ont été traduits en arabe.

Des nombreux livres de Ménélas, seul Sphaerica a survécu. Il traite des triangles sphériques et de leur application à l'astronomie. Il fut le premier à écrire la définition d'un triangle sphérique donnant la définition au début du livre I : -

Un triangle sphérique est l'espace compris par des arcs de grands cercles à la surface d'une sphère. ces arcs sont toujours inférieurs à un demi-cercle.

Dans le livre I de Sphaerica, il a posé les bases du traitement des triangles sphériques comme des triangles plans traités par Euclide. Il a utilisé des arcs de grands cercles au lieu d'arcs de cercles parallèles sur la sphère. Cela marque un tournant dans le développement de la trigonométrie sphérique. Cependant, Ménélas semble mécontent de la méthode de preuve par reductio ad absurdum qu'Euclide utilise fréquemment. Ménélas évite cette façon de prouver des théorèmes et, par conséquent, il donne des preuves de certains des théorèmes où la preuve d'Euclide pourrait être facilement adaptée au cas des triangles sphériques par des méthodes tout à fait différentes.

Il convient également de noter que [3] : -

À certains égards, son traitement est plus complet que le traitement d'Euclide du cas plan analogue.

Le livre 2 applique la géométrie sphérique à l'astronomie. Il suit en grande partie les propositions données par Théodose dans son Sphaerica mais Ménélas donne des preuves considérablement meilleures.

Le livre 3 traite de la trigonométrie sphérique et comprend le théorème de Ménélas. Pour les triangles plans, le théorème était connu avant Ménélas :

. si une droite traverse les trois côtés d'un triangle (l'un des côtés se prolonge au-delà des sommets du triangle), alors le produit de trois des segments de droite non adjacents ainsi formés est égal au produit des trois segments de droite restants de le triangle.

Ménélas a produit une version triangulaire sphérique de ce théorème qui est aujourd'hui aussi appelé théorème de Ménélas, et il apparaît comme la première proposition du livre III. La déclaration est donnée en termes d'intersection de grands cercles sur une sphère.

De nombreuses traductions et commentaires de Menelaus Sphaerica ont été faits par les Arabes. Certains d'entre eux survivent mais diffèrent considérablement et rendent une reconstruction précise de l'original assez difficile. D'un autre côté, nous savons que certaines des œuvres sont des commentaires sur des commentaires antérieurs, il est donc facile de voir comment l'original s'obscurcit. Il y a des discussions détaillées sur ces traductions arabes dans [6], [9] et [10].

Il existe d'autres œuvres de Ménélas qui sont mentionnées par des auteurs arabes mais qui ont été perdues à la fois dans le grec et dans leurs traductions arabes. Nous avons donné ci-dessus une citation du registre arabe du 10ème siècle qui enregistre un livre intitulé Éléments de géométrie qui était en trois volumes et a été traduit en arabe par Thabit ibn Qurra. Il enregistre également un autre ouvrage de Ménélas intitulé Livre sur les triangles et bien que cela n'ait pas survécu, des fragments d'une traduction arabe ont été trouvés.

Proclus faisait référence à un résultat géométrique de Ménélas qui n'apparaît pas dans l'ouvrage qui nous est parvenu et dont on pense qu'il doit provenir d'un des textes que nous venons de citer. C'était une preuve directe d'un théorème dans les éléments d'Euclide et étant donné l'aversion de Ménélas pour la reductio ad absurdum dans ses œuvres survivantes, cela semble une ligne naturelle pour lui de suivre. La nouvelle preuve que Proclus attribue à Ménélas est du théorème (dans la traduction d'Euclide par Heath) :

Si deux triangles ont les deux côtés égaux à deux côtés respectivement, mais ont la base de l'un plus grande que la base de l'autre, il aura aussi l'angle contenu par les droites égales du premier plus grand que celui de l'autre.

Une autre référence arabe à Ménélas suggère que ses Éléments de géométrie contenaient la solution d'Archytas au problème de la duplication du cube. Paul Tannery dans [8] soutient que cela rend probable qu'une courbe revendiquée par Pappus que Ménélas a longuement discutée était la courbe de double courbure de Viviani. Bulmer-Thomas dans [1] commente que : -

Il s'agit d'une conjecture séduisante mais impossible à prouver sur la base des preuves actuelles.

Ménélas est soupçonné par un certain nombre d'écrivains arabes d'avoir écrit un texte sur la mécanique. On prétend que le texte a étudié les équilibres étudiés par Archimède et ceux conçus par Ménélas lui-même. Ménélas s'intéressait en particulier aux densités spécifiques et à l'analyse des alliages.


Chronologie de Ménélas d'Alexandrie - Histoire

Les débuts de la trigonométrie

Joseph Chasse
Histoire des mathématiques
Rutgers, printemps 2000

Les anciens Grecs ont transformé la trigonométrie en une science ordonnée. L'astronomie a été le moteur des progrès de la trigonométrie. La plupart des premiers progrès de la trigonométrie concernaient la trigonométrie sphérique, principalement en raison de son application à l'astronomie. Les trois principaux personnages que nous connaissons dans le développement de la trigonométrie grecque sont Hipparque, Ménélas et Ptolémée. Il y avait probablement d'autres contributeurs, mais au fil du temps, leurs œuvres ont été perdues et leurs noms ont été oubliés.

"Même s'il ne l'a pas inventé, Hipparque est la première personne dont nous avons la preuve documentaire de l'utilisation systématique de la trigonométrie." (Heath 257) Certains historiens vont jusqu'à dire qu'il a inventé la trigonométrie. On ne sait pas grand-chose de la vie d'Hipp archus. On pense qu'il est né à Nicée en Bithynie. (Sarton 285) La ville de Nicée s'appelle maintenant Iznik et est située dans le nord-ouest de la Turquie. Fondée au 4ème siècle avant JC, Nicée se trouve sur la rive orientale du lac Iznik. Il est l'un des plus grands astronomes de tous les temps. Nous savons d'après les références de Ptolémée qu'il a fait des observations astronomiques de 161 à 127 av. (Sarton 285) Malheureusement, presque toutes ses œuvres sont perdues, et tout ce qui reste est son commentaire sur la Phainomène d'Eudoxos de Cnide, et un commentaire sur un poème astronomique d'Aratos de Soloi. (Sarton 285) La plupart de ce que nous savons sur Hipparque vient de l'Almageste de Ptolémée et de quelques remarques d'autres écrivains. La seule fonction trigonométrique utilisée par les anciens Grecs est la corde, qui est étroitement liée à la fonction sinus (Toomer 7). Ce que l'on sait de Ptolémée, c'est qu'Hipparque a produit une table d'accords, qui était un outil essentiel au début du développement de la trigonométrie. Selon Théon d'Alexandrie, qui a travaillé à Alexandrie comme professeur de mathématiques et d'astronomie, Hipparque a écrit un traité en douze livres sur les accords en cercle, qui a été perdu (Sarton 286). On pense que ce traité contenait une théorie trigonométrique générale avec quelques tables.

On pense que Hipparque est la première personne à déterminer exactement les heures du lever et du coucher des signes du zodiaque. Pappus d'Alexandrie, qui était professeur de mathématiques au IVe siècle, a observé que "Hipparque dans son livre sur le lever des douze signes du zodiaque montre au moyen de calculs numériques que les arcs du demi-cercle commençant par le Cancer qui définissent dans les temps ayant une certaine relation les uns avec les autres ne montrent pas partout la même relation entre les temps dans lesquels ils se lèvent. » (Heath 257) plus ou moins les uns par rapport aux autres, ils ne pouvaient pas calculer les temps réels. (Heath 257-258). "Comme Hipparque a prouvé des propositions correspondantes au moyen de nombres, nous pouvons seulement conclure qu'il a utilisé des propositions en trigonométrie sphérique, calculant des arcs à partir d'autres qui sont donnés, au moyen de tables." (Heath 258).

Pour son travail astronomique, Hipparque avait besoin d'une table de rapports trigonométriques. On pense qu'il a calculé la première table d'accords à cet effet. Il considérait chaque triangle comme étant inscrit dans un cercle, de sorte que chaque côté devenait une corde. Alors que les accords étaient faciles à calculer dans certains cas particuliers avec des connaissances euclidiennes, pour compléter son tableau, Hipparque aurait eu besoin de connaître de nombreuses formules de trigonométrie plane qu'il avait lui-même dérivées ou empruntées ailleurs. Hipparque est crédité d'avoir généralisé l'idée d'Hypsicle de diviser l'écliptique en 360 degrés, une idée empruntée aux astronomes babyloniens, en divisant chaque cercle en 360 degrés (Sarton 287). Il a divisé le diamètre en 120 unités et exprimé des quantités inférieures aux degrés en fractions sexagésimales (Sarton 287), dans le style babylonien.

Après Hipparque, le mathématicien grec suivant connu pour avoir contribué à la trigonométrie était Ménélas. Nous savons très peu de choses sur la vie de Ménélas. Ptolémée mentionne que Ménélas a observé à Rome en l'an 98 après JC (Toomer). Ainsi, on pense qu'il est né vers 70 après JC (Histoire des mathématiques). Pappus et Proclus l'appellent tous deux Ménélas d'Alexandrie (Heath 260), nous pouvons donc supposer qu'il a passé une partie de son temps à Rome et une grande partie de son temps à Alexandrie. Il a écrit un traité de six livres sur les accords, qui a été mentionné par Théon d'Alexandrie, mais ces livres ont tous été perdus. (Heath 260) Son seul ouvrage survivant est un ouvrage en trois livres intitulé Sphaerica , dont le troisième livre contient d'excellentes informations sur le développement de la trigonométrie et est le premier ouvrage survivant sur la trigonométrie sphérique. Malheureusement, la version grecque de ce texte est perdue, et il ne reste qu'une version arabe traduite mille ans après la rédaction de l'original. Pour aggraver les choses, divers traducteurs au fil des ans ont eu leur commentaire inclus dans le travail, et il devient difficile de séparer l'original des commentateurs. Néanmoins, ce travail fournit toujours une bonne source pour le développement de la trigonométrie grecque.

Dans le premier livre de la Sphaerica, il y a la première conception et définition connue d'un triangle sphérique (Heath 262). Ménélas décrit un triangle sphérique comme la zone incluse par des arcs de grands cercles sur la surface d'une sphère soumise à la restriction que chacun des côtés ou des jambes du triangle est un arc moins un demi-cercle. Il poursuit ensuite en donnant les principales propositions sur les triangles sphériques correspondant aux propositions d'Euclide sur les triangles plans. (Heath 263). Le deuxième livre n'a qu'un intérêt astronomique. Le troisième livre contient des rapports trigonométriques. La première proposition du troisième livre est le théorème de Ménélas en référence à un triangle sphérique et à toute transversale (grand cercle) coupant les côtés d'un triangle. Plutôt que d'utiliser un triangle sphérique, il exprime sa proposition en termes de deux grands cercles sécants. "Entre deux arcs ADB, AEC de grands cercles se trouvent deux autres arcs de grands cercles DFC et BFE qui les coupent et se coupent également en F. Tous les arcs sont inférieurs à un demi-cercle." (Heath 266). Il continue ensuite à prouver


qui est le théorème de Ménélas pour la trigonométrie sphérique. Dans la démonstration de Ménélas, il distingua trois ou quatre cas distincts. Vous trouverez ci-dessous un schéma du théorème de Ménélas pour la trigonométrie plane :

Le reste du troisième livre se compose de propositions trigonométriques qui étaient nécessaires pour le travail astronomique. Le dernier grand contributeur à la trigonométrie à l'époque grecque est Ptolémée. On sait très peu de choses sur la vie réelle de Ptolémée. Il a fait des observations astronomiques d'Alexandrie en Égypte au cours des années 127-41 après JC. La première observation que nous pouvons dater exactement a été faite par Ptolémée le 26 mars 127 tandis que la dernière a été faite le 2 février 141. Il n'y a aucune preuve que Ptolémée se trouvait ailleurs qu'à Alexandrie. Heath dit "il est évident qu'aucune partie de la trigonométrie, ou de la matière qui la précède, chez Ptolémée n'était nouvelle. d'établir les méthodes et les formules utilisées. (276) D'autres historiens des mathématiques pensent que Ptolémée a achevé le travail commencé par Hipparque, qu'il a élaboré certains détails nécessaires et a compilé de nouvelles tables. Il est difficile de dire quels ajouts et modifications Ptolémée a apportés à des œuvres déjà existantes. Toomer appelle l'Almageste un chef-d'œuvre de clarté et de méthode, supérieur à n'importe quel ancien manuel scientifique et avec peu de pairs de n'importe quelle période. Mais c'est bien plus que cela. Loin d'être une simple compilation de l'astronomie grecque antérieure, comme on la décrit parfois, c'est à bien des égards une œuvre originale.

Quoi qu'il en soit, l'Almageste de Ptolémée est notre principale source d'information sur Hipparque et sur la trigonométrie alexandrine. "La nature encyclopédique de l'Almageste, sa valeur supérieure et sa perfection formelle ont probablement été les principales causes de la perte des écrits originaux d'Hipparque. Les premiers copistes ont dû penser que l'Almageste rendait les écrits antérieurs obsolètes et superflus." (Sarton 286). L'utilisation des fonctions sinus, cosinus et tangente se situe dans plusieurs centaines d'années. Cependant, la table d'accords peut être utilisée dans des formules équivalentes aux formules actuelles pour les fonctions trigonométriques. La table d'accords de l'Alma gest est probablement la même que la table d'Hipparque ou une extension de celle-ci, mais nous ne pouvons en être sûrs car nous n'avons pas de copie de la table d'Hipparque avec laquelle la comparer. (Heath 259) La table d'accords de Ptolémée est complétée pour les arcs sous-tendant des angles augmentant de 1/2 degrés à 180 degrés par pas de 1/2 degrés. Afin d'avoir calculé sa table d'accords, Ptolémée doit avoir eu connaissance des équivalents de plusieurs identités et formules trigonométriques. Ptolémée connaissait la formule (accord 2x) + (accord (180x - 2x)) = 4r, ce qui équivaut à sin x + cos x = 1 . Ptolémée a également utilisé une formule qui est devenue plus tard connue sous le nom de théorème de Ptolémée. Cette formule est accord (a-b) = 1/2 (accord a accord (180-b)) - (accord b accord (180-a)) où a et b sont des angles. "Pt olemy doit avoir effectué ses calculs à cinq places sexagésimales pour atteindre la précision qu'il fait à la troisième place." (Toomer 57-58). Les calculs de Ptolémée sont suffisamment précis pour être utiles aujourd'hui. Voici un tableau partiel des accords de Ptolémée tiré de Toomer :

La table des accords est équivalente à une table des sinus pour tous les angles au centre de 0 degrés à 90 degrés à des intervalles de 15' et peut donc être utilisée pour résoudre n'importe quel triangle plan, à condition qu'au moins un côté soit connu. La fonction sin x est équivalente à 1/2 (chord 2x) , et cos x est équivalente à 1/2 chord(180-2x) . L'Almageste contient également des théorèmes trigonométriques équivalents à la loi actuelle des sinus et aux identités d'angle composé et de demi-angle. L'hypothèse est qu'Hipparque doit également les connaître et peut-être les inventer.

Heath et Neugebauer ont tous deux suggéré que les débuts de la trigonométrie en tant que science ordonnée remontent à quelques années avant Hipparque. "La première preuve conservée de l'approche des problèmes spécifiquement trigonométriques se trouve dans le traité Sur les tailles et les distances du soleil et de la lune d'Aristarque, écrit vers 250 avant JC" (Neugebauer 773). Aristarque a utilisé une inégalité importante, qui est l'équivalent des inégalités Sin x

A l'aide de telles inégalités, Aristarque a estimé les valeurs numériques des fonctions trigonométriques dans certains cas spécifiques de petits angles. Quelques décennies plus tard, Archimède utilisa la même formule. al-Biruni a conservé un lemme d'Archimède, qui montre qu'il disposait d'une version équivalente du théorème de Ptolémée (Neugebauer 773). Dans l'œuvre de Ménélas, il y a une remarque qui suggère que l'une des propositions trigonométriques peut être attribuée à Apollonios, qui vécut quelques années avant Hipparque (Heath 253). "Tannery (de ses Recherches sur l'hist. De l'astronomic ancienne , p. 64) . a suggéré que non seulement Apollonius mais Archimède avant lui peuvent avoir compilé une table d'accords ou au moins montré la voie à une telle compilation. " (Heath 253)


La vie et les œuvres

Bien que l'on sache très peu de choses sur la vie de Ménélas, on suppose qu'il a vécu à Rome, où il a probablement déménagé après avoir passé sa jeunesse à Alexandrie. Il était appelé Ménélas d'Alexandrie par Pappus d'Alexandrie et Proclus, et une conversation de son avec Lucius, tenue à Rome, est enregistrée par Plutarque.

Ptolémée (IIe siècle) mentionne également, dans son ouvrage Almageste (VII.3), deux observations astronomiques faites par Ménélas à Rome en janvier de l'an 98. Il s'agissait d'occultations des étoiles Spica et Beta Scorpii par la lune, à quelques nuits d'intervalle. Ptolémée a utilisé ces observations pour confirmer la précession des équinoxes, un phénomène qui avait été découvert par Hipparque au IIe siècle avant notre ère.

Sphaérica est le seul livre qui a survécu, dans une traduction arabe. Composé de trois livres, il traite de la géométrie de la sphère et de son application aux mesures et calculs astronomiques. Le livre introduit le concept de triangle sphérique (figures formées de trois grands arcs de cercle, qu'il a nommés "trilatères") et prouve le théorème de Ménélas sur la colinéarité des points sur les bords d'un triangle (qui peut avoir été connu auparavant) et son analogue pour les triangles sphériques. Il a ensuite été traduit par l'astronome et mathématicien du XVIe siècle Francesco Maurolico.


Ménélas

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Ménélas, dans la mythologie grecque, roi de Sparte et fils cadet d'Atrée, roi de Mycènes, l'enlèvement de sa femme, Hélène, a conduit à la guerre de Troie. Pendant la guerre, Ménélas a servi sous les ordres de son frère aîné Agamemnon, le commandant en chef des forces grecques. Lorsque Phrontis, l'un de ses membres d'équipage, fut tué, Ménélas retarda son voyage jusqu'à ce que l'homme soit enterré, témoignant ainsi de sa force de caractère. Après la chute de Troie, Ménélas a récupéré Helen et l'a ramenée à la maison. Ménélas était une figure marquante de la Iliade et le Odyssée, où on lui a promis une place à Elysium après sa mort parce qu'il était marié à une fille de Zeus. Le poète Stésichore (florissant du VIe siècle av. Hélène: c'était un fantôme qui a été emmené à Troie, tandis que la vraie Hélène est allée en Égypte, d'où elle a été sauvée par Ménélas après qu'il ait été détruit en rentrant de Troie et que le fantôme d'Hélène ait disparu.


Vie et œuvres

L'histoire est presque totalement silencieuse en ce qui concerne les détails biographiques de Ménélas. Tout ce que nous savons, c'est qu'il a fait une série d'observations astronomiques à Rome en 98 EC et qu'il était connu de l'écrivain grec Plutarque (c. 45-50 EC - c. 120-125 EC). Nous connaissons également les titres de plusieurs de ses œuvres, principalement via des références dans les œuvres d'autres, notamment des écrivains arabes ultérieurs et des compilateurs de textes anciens (maintenant pour la plupart perdus). Ces travaux comprennent :

  • Sphériques (Sphaérica) – L'œuvre la plus importante de Ménélas, qui survit sous forme de traduction arabe. Il traite des études mathématiques des sphères et de leurs implications en matière d'astronomie. L'ouvrage est divisé en trois livres, dont le premier examine les triangles sphériques, les définit et propose des théorèmes basés sur les travaux du mathématicien grec Euclide (IVe-IIIe siècle av. J.-C.) sur les triangles simples. Il s'agit de la première étude détaillée des triangles sphériques encore existante. Le deuxième livre concerne des sujets sphériques avec des observations sur l'astronomie similaires à celles faites par Euclide et l'astronome et mathématicien Théodose de Bithynie (l. c. 100 avant notre ère). Le troisième livre est un traité beaucoup plus novateur sur les principes fondamentaux de la trigonométrie sphérique, encore une fois, la première étude connue de ce type. Il présente le théorème de Ménélas (voir ci-dessous) et la règle des quatre quantités et la loi des tangentes.
  • Densités spécifiques – une autre œuvre survivante en traduction arabe. Ce livre a été dédié à l'empereur romain Domitien (r. 81-96 CE).
  • Éléments de géométrie – trois livres mentionnés par le savant persan al-Biruni (né en 973 de notre ère) et probablement une collection de problèmes concernant la géométrie euclidienne.
  • Un traité sur les accords dans un cercle, peut-être une forme de table trigonométrique ancienne. Ce travail est mentionné par le mathématicien et commentateur du IVe siècle de notre ère Theon d'Alexandrie.
  • Un ouvrage sur les signes du zodiaque, auquel se réfère le mathématicien Pappus d'Alexandrie du IVe siècle.
  • Trois œuvres mentionnées au Xe siècle de notre ère Fihrist, un catalogue arabe d'Ibn al-Nadim. Ceux-ci sont Livre sur le Triangle, De la connaissance des poids et de la répartition des différents corps, et un ouvrage sans titre sur la mécanique. Ces textes incluaient peut-être l'estimation par Ménélas de la précession des équinoxes.

  1. ^ Encyclopaedia Britannica « Mathématicien et astronome grec qui a conçu et défini le premier un triangle sphérique (un triangle formé de trois arcs de grands cercles à la surface d'une sphère).
  • Ivor Bulmer-Thomas. "Ménélas d'Alexandrie." Dictionnaire de Biographie Scientifique 9:296-302.
  • Pedro Pablo Fuentes González, « Ménélaos d'Alexandrie », in R. Goulet (éd.), Dictionnaire des Philosophes Antiques, vol. IV, Paris, CNRS, 2005, p. 456-464.

Vie et oeuvres[modifier]

Bien que l'on sache très peu de choses sur la vie de Ménélas, on suppose qu'il a vécu à Rome, où il a probablement déménagé après avoir passé sa jeunesse à Alexandrie. Il était appelé Ménélas d'Alexandrie par Pappus d'Alexandrie et Proclus, et une conversation de son avec Lucius, tenue à Rome, est enregistrée par Plutarque.

Ptolémée (IIe siècle) mentionne également, dans son ouvrage Almageste (VII.3), deux observations astronomiques faites par Ménélas à Rome en janvier de l'an 98. Il s'agissait d'occultations des étoiles Spica et Beta Scorpii par la lune, à quelques nuits d'intervalle. Ptolémée a utilisé ces observations pour confirmer la précession des équinoxes, un phénomène qui avait été découvert par Hipparque au IIe siècle avant notre ère.

Sphaérica est le seul livre qui a survécu, dans une traduction arabe. Composé de trois livres, il traite de la géométrie de la sphère et de son application aux mesures et calculs astronomiques. Le livre introduit le concept de triangle sphérique (figures formées de trois grands arcs de cercle, qu'il a nommés "trilatères") et prouve le théorème de Ménélas sur la colinéarité des points sur les bords d'un triangle (qui peut avoir été connu auparavant) et son analogue pour les triangles sphériques. Il a ensuite été traduit par l'astronome et mathématicien du XVIe siècle Francesco Maurolico.


Les premiers développements

Les astronomes sumériens ont étudié la mesure des angles, en utilisant une division de cercles en 360 degrés. Ils, et plus tard les Babyloniens, étudièrent les rapports des côtés de triangles similaires et découvrirent certaines propriétés de ces rapports, mais n'en firent pas une méthode systématique pour trouver les côtés et les angles des triangles. Les anciens Nubiens utilisaient une méthode similaire. Β]

Les anciens Égyptiens et Babyloniens connaissaient des théorèmes sur les rapports des côtés de triangles similaires depuis de nombreux siècles. Mais les sociétés préhelléniques manquaient du concept de mesure d'angle et par conséquent, les côtés des triangles ont été étudiés à la place, un domaine qu'il vaudrait mieux appeler "trilatérométrie". Γ]

Mathématiques babyloniennes

Les astronomes babyloniens ont tenu des registres détaillés sur le lever et le coucher des étoiles, le mouvement des planètes et les éclipses solaires et lunaires, qui exigeaient tous une familiarité avec les distances angulaires mesurées sur la sphère céleste. Δ]

Sur la base d'une interprétation de la tablette cunéiforme Plimpton 322 (vers 1900 avant JC), certains ont même affirmé que les anciens Babyloniens avaient une table de sécantes. Il y a, cependant, beaucoup de débats quant à savoir s'il s'agit d'un tableau de triplets de Pythagore, d'une solution d'équations quadratiques ou d'un tableau trigonométrique.

Mathématiques de l'Egypte ancienne

Les Égyptiens, quant à eux, utilisaient une forme primitive de trigonométrie pour construire des pyramides au IIe millénaire av. Δ] Le papyrus mathématique de Rhind, écrit par le scribe égyptien Ahmes (vers 1680-1620 av. J.-C.), contient le problème suivant lié à la trigonométrie : Δ]

« Si une pyramide mesure 250 coudées de haut et le côté de sa base 360 ​​coudées de long, quelle est sa recherché?"

La solution d'Ahmes au problème est le rapport entre la moitié du côté de la base de la pyramide et sa hauteur, ou le rapport course/élévation de sa face. En d'autres termes, la quantité qu'il a trouvée pour le recherché est la cotangente de l'angle à la base de la pyramide et à sa face. Δ]

Mathématiques indiennes anciennes

La première utilisation de sine  apparaît dans le Sutras Sulba écrit dans l'Inde ancienne du VIIIe siècle av. J.-C. au VIe siècle av. ils n'avaient pas encore développé la notion de sinus dans un sens général. Ζ]

Mathématiques hellénistiques

La corde d'un angle sous-tend l'arc de l'angle.

Les anciens mathématiciens hellénistiques utilisaient l'accord. Étant donné un cercle et un arc sur le cercle, la corde est la ligne qui sous-tend l'arc. La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle et coupe l'angle en son milieu. La moitié de la corde coupée en deux est le sinus de l'angle coupé en deux, c'est-à-dire , et par conséquent la fonction sinus est également connue sous le nom de "demi-accord". En raison de cette relation, un certain nombre d'identités et de théorèmes trigonométriques connus aujourd'hui étaient également connus des mathématiciens hellénistiques, mais sous leur forme d'accord équivalente. Η]

Bien qu'il n'y ait pas de trigonométrie dans les travaux d'Euclide et d'Archimède, au sens strict du terme, il existe des théorèmes présentés de manière géométrique (plutôt que trigonométrique) qui sont équivalents à des lois ou formules trigonométriques spécifiques. Γ] Par exemple, les propositions douze et treize du livre deux de la Éléments sont les lois du cosinus pour les angles obtus et aigus, respectivement. Les théorèmes sur les longueurs de cordes sont des applications de la loi des sinus. Et le théorème d'Archimède sur les accords brisés est équivalent aux formules des sinus des sommes et des différences d'angles. Γ] Pour compenser l'absence d'une table d'accords, les mathématiciens de l'époque d'Aristarque utilisaient parfois le théorème bien connu qui, en notation moderne, /> chaque fois /> , entre autres théorèmes. ⎖]

Asie Mineure

Une table trigonométrique ancienne aurait été compilée par Hipparque de Nicée (180 - 125 av. J.-C.). Hipparque a apparemment tabulé les valeurs correspondantes de l'arc et de la corde pour une série d'angles. Ώ] ⎗]

Bien qu'on ne sache pas quand l'utilisation systématique du cercle à 360° est entrée dans les mathématiques, on sait que l'introduction systématique du cercle à 360° est intervenue peu après Aristarque de Samos composé Sur les tailles et distances du soleil et de la lune (vers 260 av. J.-C.), puisqu'il mesurait un angle en termes de fraction de quadrant. Il semble que l'utilisation systématique du cercle à 360° soit en grande partie due à Hipparque et à sa table d'accords. Hipparque a peut-être pris l'idée de cette division d'Hypsicles qui avait auparavant divisé le jour en 360 parties, une division du jour qui a peut-être été suggérée par l'astronomie babylonienne. ⎘] Dans l'astronomie antique, le zodiaque était divisé en douze "signes" ou trente-six "décans". Un cycle saisonnier d'environ 360 jours aurait pu correspondre aux signes et aux décans du zodiaque en divisant chaque signe en trente parties et chaque décan en dix parties. C'est grâce au système de nombres sexagésimal babylonien que chaque degré est divisé en soixante minutes et chaque minute est divisée en soixante secondes. ΐ]

Egypte hellénistique

Dans l'Egypte romaine, le mathématicien égyptien hellénisé Ménélas d'Alexandrie (environ 100 après JC) a écrit dans trois livres son Sphaérica. Dans le livre I, il établit une base pour les triangles sphériques analogue à la base euclidienne pour les triangles plans. Il établit un théorème sans analogue euclidien, selon lequel deux triangles sphériques sont congrus si les angles correspondants sont égaux, mais il ne fait pas de distinction entre les triangles sphériques congruents et symétriques. Un autre théorème qu'il établit est que la somme des angles d'un triangle sphérique est supérieure à 180°. Η] Livre II de Sphaérica applique la géométrie sphérique à l'astronomie. Et le livre III contient le "théorème de Ménélas". Il a en outre donné sa fameuse "règle des six quantités". ⎙]

Plus tard, le mathématicien égyptien hellénisé & Claudius Ptolémée (ca. 90 - ca. 168 après JC) s'est étendu sur Hipparque' Accords dans un cercle dans son Almageste, ou la Syntaxe mathématique. Les treize livres de la Almageste sont les travaux trigonométriques les plus influents et les plus significatifs de toute l'antiquité. Un théorème qui était au cœur du calcul des accords de Ptolémée était ce que l'on appelle encore aujourd'hui le théorème de Ptolémée, selon lequel la somme des produits des côtés opposés d'un quadrilatère cyclique est égale au produit des diagonales. Un cas particulier du théorème de Ptolémée est apparu comme la proposition 93 dans la proposition d'Euclide Données. Le théorème de Ptolémée conduit à l'équivalent des quatre formules de somme et de différence pour le sinus et le cosinus qui sont aujourd'hui connues sous le nom de formules de Ptolémée, bien que Ptolémée lui-même ait utilisé des accords au lieu de sinus et cosinus. ⎚] Ptolémée a en outre dérivé l'équivalent de la formule du demi-angle . ⎚] Ptolémée a utilisé ces résultats pour créer ses tables trigonométriques, mais il est impossible de déterminer si ces tables étaient dérivées du travail d'Hipparque. ⎚]

Neither the tables of Hipparchus nor those of Ptolemy have survived to the present day, although descriptions by other ancient authors leave little doubt that they once existed. ⎛]


Menelaus (mathematician)

Ménélas (also Menelaus of Alexandria * around 45/50 in Alexandria , † around 110/120 probably in Rome ) was an ancient Greek mathematician and astronomer .

Little is known about the life of Menelaus. It is believed that he moved to Rome from Alexandria after his youth. Both Pappus and Proclus call him Menelaus of Alexandria this suggests that he may have been born there. Plutarch has narrated a conversation with Lucius . Around 98 Menelaus is said to have made astronomical observations in Rome, as Claudius Ptolemy reports. He also proved the Menelaus theorem named after him .

Sphaerica is the only work by Menelaus that has survived in Arabic and Hebrew translations. The book is about the spherical triangles that are important for astronomers . This contains the sentence of Menelaus. The traditional versions of the Sphaerica sometimes differ considerably.

Other books by Menelaus that were still known to the Arabs were the "Elements of Geometry" (of which Thabit Ibn Qurra made a translation that has not survived) in three books, the "Book of Triangles", from which fragments of an Arabic translation were found, and two others Works. Evidence in an Arabic source suggests that the "elements of geometry" also discussed the curve with which Archytas of Taranto doubled the cube.

The lunar crater Menelaus and the Rimae Menelaus are named after the ancient astronomer.


Voir la vidéo: Alexandrie, incroyable récit des origines (Novembre 2021).

Arcs Accords soixantièmes
1/20 31 251 2 50
11 2 501 2 50
1 1/21 34 151 2 50
2 2 5 401 2 50
2 1/2 2 37 41 2 48
3 3 8 28 1 2 48
3 1/2 3 39 52 1 2 48
4 4 11 161 2 47
4 1/21 2 47 4 42 40
5 5 14 41 2 46
5 1/2 5 45 271 2 45
6 6 16 491 2 44
6 1/2 6 48 111 2 43
7 7 19 331 2 42
7 1/21 2 41 7 50 54
8 8 22 151 2 40
8 1/2 8 53 351 2 39
9 9 24 541 2 38
9 1/2 9 56 131 2 37
10 10 27 321 2 35
10 1/2 10 58 491 2 33
11 11 30 51 2 32
11 1/2 12 1 211 2 30
12 12 32 361 2 28
12 1/2 13 3 501 2 27
13 13 35 41 2 25
13 1/2 14 6 161 2 23
14 14 37 271 2 21
14 1/2 15 8 381 2 19
15 15 39 47 1 2 17
. . .
. . .
Arcs Accords soixantièmes
. . .
. . .
165 1/2 119 2 260 7 48
166 119 6 20 0 7 31
166 1/2 119 10 6 0 7 15
167 119 13 44 0 6 59
167 1/2 119 17 13 0 6 42
168 119 20 34 0 6 26
168 1/2
119 23 47 0 6 10
169 119 26 52 0 5 53
169 1/2 119 29 49 0 5 37
170 119 32 37 0 5 20
170 1/2 119 35 17 0 5 4
171 119 37 49 0 4 48
171 1/2 119 40 13 0 4 31
172 119 42 28 0 4 14
172 1/2 119 44 35 0 3 58
173 119 46 35 0 3 42
173 1/2 119 48 26 0 3 26
174 119 50 8 0 3 9
174 1/2 119 51 43 0 2 53
175 119 53 10 0 2 36
175 1/2 119 54 27 0 2 20
176 119 55 38 0 2 3
176 1/2 119 56 39 0 1 47
177 119 57 32 0 1 30
177 1/2 119 58 18 0 1 14
178 119 58 55 0 0 57
178 1/2 119 59 24 0 0 41
179 119 59 44 0 0 25
179 1/2 119 59 56 0 0 9
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